くえばのお話

※クリスマス過ぎちゃったけどこれはアドベントカレンダーの記事です。

こんにちは、ちんさんです。

結束バンドのアルバムを買おうとAmazon開いたらどこも品切れか発送が年明けだったときの顔してます。アニメ良かったですね。

知らない人のためにとりあえず自己紹介。

音ゲーマーです。

HN：ちんさん

メイン機種：初音ミク Project DIVA Arcade　←神ゲーなのでみんなやろう

サブとかはなくて、割と気分で他の機種はやってます。最近はチュウニズムにお熱かも🦆

あとはtwitter(ちんさん (@chinsan_QUaver) / Twitter)のbioに一応書いているんですが、

九州大学音楽ゲームサークルQUaverの創設者ということになっています。(ついでに初代部長)

自己紹介ここまで。

以下、QUaverを『くえば』と表記することが多々あります。

さて、なぜ自己紹介でわざわざQUaver創設者とかいう情報書いているかというと、今回はQUaver自体の記事にしたからです。

実はこの音ゲーサークルはできてもう8年半も経ってます。そんな経ってるので当たり前っちゃ当たり前なのですが、初期のメンバーはもうほとんどいません。*1それなので、昔話でも書こうかなと思った次第です。ぶっちゃけ記憶が曖昧なのと資料がそんなに残ってないので適当書くかもしれませんが、その辺はご容赦ください。

今後、何かサークル作ってみようかな～と思っている人には何かしらのヒントになる情報があるかもしれんですね。

というわけでくえば老人会、はじまりはじまり～

もくじ

くえば爆誕

早速ですが、これが事の発端です。*2

音ゲーサークルとかないんかな

— ちんさん (@chinsan0927) 2014年6月5日

僕が九大に入学して2ヶ月、twitterランドで同大学の音ゲーやってるFFが何人か出来はじめ、サークルあったら入りたいな～とか思ってたんだと思います。当然ないので、当時の太鼓仲間とサークル作ろうという流れになりました。*3センターゾーンの地下食でこんなやり取りした気がする。

九州大学の音ゲーサークルをついに作りました！！！！！！ガチ勢の方から、触ってるくらいの方も、今から始めてみようかなという方、どなたでも大歓迎です(^○^)詳しく聞きたい方はDMでもリプでもお願いします！#拡散希望

— 九大音ゲーサークル QUaver (@qu_aver) 2014年6月16日

というわけでできました、九州大学音ゲーサークル。

そんなノリでサークルって作れるんかと思われるかもしれませんが、作るだけならそんなもんです。「～のサークル作ろうぜ」って言ったらもうできてるようなもんです。おめでとう、あなたが創設者だ。

最初期のメンバーは数学科率がちょい高めでした。

というのも、自分が数学科だったこともあり同学科の人を直接勧誘していたからです。数学科自体は人数はそんな多くはない(60人くらい)けど何かしら音ゲやってた人はちょいちょいいた気がします。

毎年数学科の後輩がちょこちょこくえば加入してるけど、音楽ゲームと数学って何か相関があるのかしら…何か知ってる人いたら教えてください。

ちなみにQUaverという名前は僕が考案したものではなく、当時一緒に太鼓やってて創設に関わってくれた人が、「音ゲーサークル作るなら名前はこれにしよう！」と言ってつけてくれたものです。BEMANI音ゲ齧ってる人はご存じかもしれませんが、『quaver♪』という楽曲からそのまんまとってきてます。九州大学の略称(?)『QU』が入っているのと、quaverが『八分音符』という音楽っぽい意味を持っている*4ことから採用しました。いい名前っすね。

当時はdiscordなるものはなかったのでLINEで連絡だったり告知等を行っていて、LINEとtwitterのアイコンは楽曲quaver♪のジャケットをそのまま使っていました。

そして、「ジャケットは流用じゃなくて何か作ろうぜ」という流れになっていきます。

アイコン

アイコンを作る流れになりましたが、僕はデジタルでお絵かきはしたことはなかったので、ペンタブとか持っていませんでした。それゆえ原案は紙に描いてから、フリーのペイントソフトでデジタルに落とし込むって感じで描きました。いい感じのフォントに図形組み合わせる作業がほとんどだったので、マウスでもどうにかこうにかできる作業でしたね。原案は英語のライティングか何かの授業中に描いてた気がするけど、考えてるときすっごい楽しかった記憶です。

そんなこんなでできたのがこちら。

くえばオリジナル(?)アイコン第１弾です。

既に現在のアイコンにかなり近いです。

前面のロゴは僕が作って、背景の円形の棒グラフみたいなやつは当時の副部長がフリー素材集からいい感じのものを選んでくれました。我ながら良いデザインだと思ってます。

このアイコン知ってる人はまぁまぁ老人です。

んでこのアイコンをtwitterとLINEで使ってたんですけど、フリー素材やめて背景も作っちゃおうかという話になりました。これも副部長がちょちょいと作ってくれたんですけどね。

そしてできたのがこれ。

オリジナルアイコン第２弾。
くえば知ってる人の大半はこのアイコン見たことあるんじゃないでしょうか？

前回のアイコン背景の円形要素は残しつつ、前面のロゴはちょこっと影が付いている感じになってますね。これで現在まで使われている完全オリジナルのアイコンになりました。やったー。

実はもう１個アイコンあるんですけど。

これはほんとマイナーチェンジ版というか、作らざるを得なかったという感じです。

経緯としてはくえばオリジナルTシャツを作ろうとしていた時に、「アイコン画質悪くね？？」ってなったことがはじまりです。上に載せてた画像見てください。ガビガビです。twitterとかのアイコンであればこれくらいの画質(サイズ)でも良いかもしれませんが、Tシャツに載せるのにクソ雑魚画質じゃ誰も欲しがりません。僕も欲しくない。

というわけで作り直しました(透過したとこ白くて見づらい)。今回はタブレット端末持ってたのでそんなに時間かからなかった記憶です。一番苦労したのが文字部分のフォントを思い出す作業でした。もう忘れたけど

twitterとかのアイコンにしてはないので、画像として載せるのはここが初かもしれませんね。

ちなみにこれは今年7月くらいのお話です。まだTシャツできてなくてごめんなさい。ほんとはできてる。

まぁTシャツの話はまた後程ということで…アイコンの話はこれでおしまい。

何かいいアイコン案あったら部長副部長に相談してみてね～

企画とか

これまでやってきたor現在まで続いている企画をざっくり紹介します。自分も全部は覚えてないので一部になってしまいますが…

後輩の皆さんはこれ見て、「もっかいやりたい」とか「こういうの面白そう」とかあればじゃんじゃん提案しちゃってください、部長副部長に。*5

部内大会

現在まで続いてるやーつ。いわゆる部内戦です。

CS・AC問わず部門を立てて参加者を募り、担当者がルール決めてみんなで競い合う、そんな流れになってます。全部門に共通する最低限のルールとして、

• 3人以上の参加者でその部門の開催決定
• 期間は2週間くらい
• 担当は結果発表時に自身のリザルトを提示する

とかがあった気がしますが、これはくえばができて最初の部内大会で僕が勝手に決めたものです(多分)。なんだかんだ現在まで継承されてますね。

対戦方法は担当の人が毎回上手いことルールを考えてくれてるので、実力差問わず戦えるのがすごいですね。感心させられるルールばかりです。おじさん頷きすぎて首とれちゃいました。

くえばの部内大会が他の音ゲーサークルと違うだろうなと思っているところは、『音ゲ全く関係ない部門が存在する』、『勝敗のない部門が存在する』といったとこでしょうか。ここ最近はユニークな部門が多く開催され、『ボードゲーム部門』、『Among Us部門』、『飲み会』、『マリオカート8DX部門』など数多くの部門が開催されていました*6。盛り上がりだったり部員同士の交流を深める意味では音ゲー以外の部門も全然アリかなと思っているので、今んとこはとりあえず見守っている感じです。

ちなみに部内大会の参加者の集計、けっこう大変らしいです。今はexcelでマクロ組んで多少は楽になったかなと自負していますが、それ以前の手書きで集計していた過去部長副部長たち、マジでありがとうございました…

ブログリレー

この記事もこの企画の一環です。決められた期間の適当な日に自分の名前を記入して、その日に自由に書いた記事を投稿するといった企画です。先の部内大会と同じように、こちらも音ゲー以外の内容OKとなっています。むしろ音ゲー以外の方が多いかも。

僕は数学とか折り紙とかDIVAの話題が多めです。刺さる人は少なそうな分野。

この企画に関してはこれくらいかな…

これからも皆さんの面白い記事を期待しています。

入部試験

この文字列を見てビビってしまった未来のくえば部員たち、安心してください。そんなものはありません。

ただのクイズ大会みたいなもので、この企画はじまって数年は新歓のタイミングで実施していました。最初やってみたら割と好評で、毎年行われています。途中から某コロ助のせいで新歓自体実施が難しくなっちゃったけど…

流れとしては事前に製作委員会的なのを組織して、各機種または分野でちょっと多めに問題を製作、その後問題を選定して1冊にまとめるといった手順で作成しています。機種の範囲が結構広いんで、マニアックな問題はあんまり出ていない印象です。

過去問見返したらまぁまぁマニアックな問題あったわ

先に述べたように機種の範囲が広いので、マニアックな問題は少なくても高得点は難しいです。平均点も実際そんな高くなかったような記憶。多機種勢が強い企画かもしれませんね。

ちなみに設問や解答の選択肢がユニークなものもあり、大喜利が始まっているものもちらほら。僕はとても良いと思います、そういうの。来年もこの企画やりましょう。

また入部試験とは別で、『くえばアナグラムクイズ大会』といったクイズ企画も昨年行いました。

これは音ゲー楽曲の曲名を並べ替えて文章を作り、もとの曲名を当てる企画です。機種は触ったことなくても曲名だけ知ってれば正解できるかもしれない企画なので、割といろんな人が参加できそうな企画かなと思っています。

例えばこんな感じ↓

この企画も定期的にやれたら楽しいんだろうな～とか思ってるんですが、問題を作るのがクッソ大変です…問題製作には僕ともう2人協力してもらったんですけど、その節はありがとうございました。問題製作班がちゃんと組織できれば定期的に実現できそうな企画だと思っています。

Monthly QUest

今はやってない企画その１。

これは特定の機種について、毎月お題を提示してみんなでやろう的なやつです。新しい機種の開拓のきっかけだったり、何の曲やろっかなーって時のお題などが目的で発案されました。スコアタではないので、やってみてハッシュタグつけて投稿するだけって感じのイベントです。自分としては普段やらない機種を触るいい機会だったと思います。

僕はDIVAの担当をしていたのですが、こんな感じで毎月作ってました。

くえば公式サイト

今はやってない企画その２。

いつからか僕と、僕が部長だった時の副部長と一緒にやや勝手に立ち上げたサイトです。wixで作ってるのですが、サイト自体はまだ生きているので検索すれば出てくると思います。閲覧できるページは制限していますが。

中身としてはホームでサークルのざっくりとした紹介、その他店舗紹介や部員紹介のページ、ブログ、過去の部内大会の概要、更にこの後紹介するQ_Recordのページを公開していたと思います。

編集しているのが僕だけだったので、だんだんと飽きてきていつの間にか更新が途絶えました。ごめんちゃい。

サークルの公式サイトとかあったら何かおっきい組織のような雰囲気出ますよね。実際割と大きい組織なんだけど。

Q_Record

今はやってない企画その３。

くえば部員が出したいい感じの記録を残していこう的な企画です。

記録の登録自体は簡単で、twitterでリザルトに専用のハッシュタグつけて投稿するだけです。それを僕がサーチしてくえば公式サイトに記録してました。10機種くらいでやってた気がするんですけど、けっこう提出率というか参加してくれる人が多かった印象です。

くえば公式サイトが更新途絶えた理由と同じ感じで、飽きちゃいました。*7あとは各機種でぶっ飛んでるひとの1強みたいな感じになってきてたことも理由のひとつですかね。

もう少し上手いこと企画できてれば長く続く企画だったのかな～とか思っています。

七帝戦

これはくえばの企画ではないですが、毎年サークルとして参加している企画なのでご紹介。

旧帝大の7大学合同で行われる大会です。運営で開催が決定された音ゲー各部門で課題曲が1,2曲選ばれ、スコアタを行います。各部門の順位でポイントが付与されるので単曲で競えるだけでなく、全部門の合計ポイントでも競うことができます。*8

自分の実力がどこまで通用するかを測れるだけでなく、普段触らない機種に触ったり、他大学の音ゲーサークルの人たちと繋がれるいい機会だと思います。実際、第１回七帝戦ではボコボコにされて自分の弱さを思い知ったので、かなり衝撃的な大会でした。

己の弱さに気づいたときに使えそうな画像

ちなみに界隈で有名なランカーがちょいちょい参加してたりするので、見つけてしまうと目ん玉飛び出ます。

来年もやるのかな？

おわりに

昔話とか宣いながら最近のことまで含めて長々と書いてしまいました。

本当はサークルができた2014年から順を追って毎年何をやってきたか書きたかったのですが、企画とかがそれぞれ何年に始まったのか思い出せなかったので、今回みたいな構成になっちゃいました。くえばがどんなことをやってきたかが少しは伝わったかな？

ほんとはもっと企画やってたと思うのですが、ちゃんと記録しておけばよかったですね。

さて、最後にサークルを実際に作って運営してきた立場から、ちょっとした所感を書きます。

『くえば爆誕』の章でサークルを作ること自体は簡単的なことを書きました。宣言するだけでできたようなもんなので、これは簡単です。難しくて、尚且つ重要なのは『サークルを維持させる』ことですね。作っただけで放置では自然消滅待ったなし、何かしらのアクションを起こさないといけません。活動しようってことです。その活動実績を作るために僕は企画を提案して実行してきました。毎年続くような企画が1個でも2個でもできれば、サークルの運営も軌道に乗ってきたと言えるのではないでしょうか？

こういった企画系で心配事なのは、「提案したところで参加してくれる人がいるか」、「企画が上手くいくか」といったところだと思います。正直なところどちらもそんなに心配ありません。前者に関しては、サークル自体が『共通の趣味や興味を持った人の集まり』なので、共通の趣味や興味に関する企画なら割とみんなノリが良いです。敷居を高くし過ぎなければ、ここは大丈夫。そして後者は上手くいくかどうかより、とりあえずやってみるのが重要です。大金がかかってるとかなら話は別かもしれませんが、それ以外ならとりあえず参加者募ってやってみましょう。上手くいけばその後も続ければ良いですし、そうでないならまた次に活かせば良いです。失敗から学べることも沢山あるので。実際くえばも1回だけやってみてその後再度やらなかった企画は普通にあります。上に書いてたQ_Recordとかも然りです。というわけでくえばのみなさん、何か企画思いついたらじゃんじゃん提案してみましょう、部長副部長に。*9

簡単に書いてしまいましたが、これからサークルとか作ってみようかな～って思う人に、少しでも参考になれば幸いです。

はい、くえば老人会、これにて終了であります。

九州大学音ゲーサークルQUaverがこれからも楽しいサークルで活動を続けられるよう、陰ながらサポート出来たらなって思っています。目指せ10周年といったところでしょうか。

ではでは ﾉｼ

*1:サークルに8年半居座ってる男はいる

*2:このアカウントはもう使ってないです

*3:当時は太鼓ばっかやってました

*4:ここ、くえば入部試験に出ます

*5:恐怖！仕事は丸投げ男

*6:刃牙楽デッド寿司部門って何？？？？？？？

*7:まだまだ投稿したかったって人、いたらマジでごめんちゃい

*8:全部門やった事ある人は分かると思いますが、財布と時間との戦いです

*9:恐怖！仕事は丸投げ男

音楽ゲーム全く関係ない話（前半）

タイトルの通りです。

今回は数学っぽい要素が出てくるので、数学アレルギーの方は気を付けてください。

もくじ

お手紙を3等分

この記事を読んでくれているみなさん、「お手紙」を出したことはありますか？

どこかに提出する書類とかでも結構です。何かしらの紙を封筒に入れた経験、あるのではないでしょうか。その際、紙と封筒のサイズ関係によっては「紙の3等分」という操作が必要になってきますよね。(いわゆる三つ折りです)

紙の3等分、めちゃくちゃ難しいんです……何回やっても微妙な隙間ができてしまう……。僕はA型*1なので、隙間のサイズによってはその日の夜が9時間しか寝られないくらいには気になってしまいます。死活問題ですね。

これ以上書くこと何も思いつかないので、めちゃくちゃ雑な導入終わりです。

ざっくり3等分

というわけでまぁまぁ精度の良い3等分をしましょう。

ここでの3等分は一辺の1/3の折り線を作図することを指すことにします。

あとは作図した線に合わせて適当に折ればOKなので。

僕は正方形の紙をよく折るので説明は正方形で行いますが、長方形の紙でも構いません。というか手紙は長方形

折ってみよう

①左の縁からの幅がだいたい1/3になるように折ります。

以上です。ざっくり1/3の折り線ができました。

勿論続きがあります

②右の縁を、①でつけた「だいたい1/3」の折り線に合わせて折ります。

③左の縁を、②でつけた折り線に合わせて折ります。

今度こそ完成です。

これだけ？って感じがしますが、これだけです。

これだけではじめにつけた「だいたい1/3」の折り線よりも精度の良い折り線が作図できています。つまり正確な1/3により近くなっているということです。

理由

下の辺の長さを $1$ とします.

また, ①でつけた「だいたい1/3」の折り線と, 「正確な1/3」の線とのズレを $d \left( \in \mathbb{R} \right)$ とします. 今回は左縁から距離を測ることにするので, 「だいたい1/3」の折り線が

「正確な1/3」の線の左側 $\Rightarrow d \lt 0$

「正確な1/3」の線の右側 $\Rightarrow d \gt 0$ 

という感じです.

よって, ①でつけた折り線の左側の幅は $\displaystyle{\frac{1}{3}+d}$ , 右側の幅は

$1 - \left(\displaystyle{\frac{1}{3}+d}\right) = \displaystyle{\frac{2}{3}-d}$

です.

②では①でつけた折り線の右側を半分に折るので, できた折り線の右側の幅は

$\displaystyle{\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} - d \right)=\frac{1}{3} - \frac{d}{2}}$

です. 左側の幅は

$\displaystyle{1-\left(\frac{1}{3}-\frac{d}{2}\right)=\frac{2}{3}+\frac{d}{2}}$

となります.

そして③では②でつけた折り線の左側を半分に折るので, できた折り線の左側の幅は

$\displaystyle{\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} + \frac{d}{2} \right)=\frac{1}{3} + \frac{d}{2^2}}$

となります.

ここで操作は終了しますが, ①と③でつけた折り線のズレを確認すると,

①… $|d|$

③… $\displaystyle{\frac{|d|}{2^2}}$

となっており, ズレが小さくなっています. つまり, ①の折り線よりも③の折り線の方が

正確な線に近い(精度が良い)というわけです. 例えば, ①でのズレが $1cm$ であった場合, ③でのズレは $2.5mm$ になります. 本当に「まぁまぁ」って感じの精度です.

余談

さて、お気づきの方もいるかもしれませんが、この①~③の操作は繰り返すほど折り線の精度は上がっていきます。

具体的には、 ①~③を $n$ 回行うとズレははじめの$\displaystyle{\frac{1}{2^{2n}}}$倍になります。

ちなみに紙を縦断するように折り線をつける必要はなく、下の辺に少し折り目をつけるくらいでも十分です。

それゆえ実際に手紙などを3等分する際には使えるテクニックだと思います。

僕は使ったことないけど。

……という感じでざっくり3等分の紹介をしましたが、この方法自体を書きたかったので手紙の件はぶっちゃけどうでもいいです。みなさんなんとなくで3等分しましょう。

ざっくりn等分

なっ..

雑

はい、3等分じゃ飽き足らない皆さんお待たせしました。一般化のお時間です。

一般化といっても紹介するのは素数等分のみです。素数等分を組み合わせることで、任意の自然数等分が作図できるからです。

例えば、一辺を105等分したい！といった気が狂ってるとしか思えないことをする場合、$105=3 \times 5 \times 7$ であるため、3等分してさらに5等分してさらに7等分したらOKというわけです。

今回紹介する方法は僕が4, 5年位前に読んだ本*2で紹介されていたもので、「藤本の漸近等分法」という名称で紹介されていました。

3等分の時と同様に、素数 $p$ に対してまぁまぁ精度の良い $1$ / $p$ の折り線を作図します。

作図方法

下の辺の長さを $1$ とし, 正確な線からのズレは省略して表記します.

$p=2$ のとき

勝手に半分に折ってください.

$p \geq 3$ つまり,  $p$ が奇素数のとき

①左の縁から, 幅がだいたい $1$ / $p$ の折り線をつける.

②直前でつけた折り線に対し, 次の($a$), ($b$) のどちらかを行う.

($a$) 折り線の左側の幅の分子が偶数 $\Rightarrow$ 左の縁を折り線に合わせて折る.

($b$) 折り線の右側の幅の分子が偶数 $\Rightarrow$ 右の縁を折り線に合わせて折る.

③ 折り線の左側の幅が $1$ / $p$ になるまで②を繰り返す.

↑作図終わり↑

例として $p=5$ の場合を紹介します。

分子が偶数の側を半分にし続けると初めの折り線あたりに戻ってくる

この場合、②の操作を $4$ 回行っているので、ズレの大きさははじめの $\displaystyle{\frac{1}{2^4}}$ 倍になっています。

右側を折る操作をR、左側を折る操作をLとすると、50以下の奇素数 $p$ に対して $1$ / $p$ の折り線の作図は以下のようになります。

ほーんって感じですね。37等分めっちゃ誤差小さそう。

僕が読んだ本ではこの方法と、記憶が曖昧ですがこの章の余談に書くことが載っていた気がします。方法の紹介ができたのでこの記事で書きたいことはもう終わったんですが、以降でつい最近の僕がこれについてもにょもにょと考えていたことを書いていきます。

もにょもにょ

なんか素数等分がざっくりできそうなのは分かりました。表を見た感じだとちゃんと $1$ / $p$ の線あたりに戻ってきてるっぽいです。これ以降の奇素数もちゃんと戻ってくるのでしょうか？

というわけで、こんな予想を立ててみます。

予想

ズレ $d=0$ のとき, 任意の奇素数 $p$ に対して①の操作の後に②の操作を適当な回数繰り返すことで, $1$ / $p$ の折り線に戻ってくる.

準備

日本語がへたくそなので予想の内容が伝わりにくいかもしれませんが、ご容赦ください。ズレがある場合は「～のあたりに戻ってくる」という表現でしたが、ズレがない場合は $1$/ $p$ の折り線が最初と最後の操作でぴったり重なる、という感じです。

②の操作、この後の考察をしやすくするために次のように言い換えます。

②' 直前でつけた折り線に対し, 次の($a$), ($b$) のどちらかを行う.

($a$) 折り線の左側の幅の分子が偶数 $\Rightarrow$ 左の縁を折り線に合わせて折る.

($b$) 折り線の左側の幅の分子が奇数 $\Rightarrow$ 同じ紙を左側に追加し, その左の縁を折り線に合わせて折る.

②'($b$)はこんな感じです。

考えるのが折り線の左側だけでよくなりました。折り線の左側の分子にのみ注目すると、

②'($a$) $分子 \times \displaystyle{\frac{1}{2}}$

②'($b$) $\left( 分子+p \right) \times \displaystyle{\frac{1}{2}}$

という形になります。式にすると半分にしてる感がありますね。

さて、例として $p=5$ の場合に分子がどのように変化するかを追ってみると、下のようになります。

実はこれ、$5$ を法として $1$ にひたすら $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ をかける操作に対応してるんです。他の奇素数に関しても同様です。

実質合同式の辺々の割り算ですが、$2$ と奇素数 $p$ は互いに素なので、合同式の辺々を割る際の条件をきちんと満たしています。

これにより、先述の予想が次のように言い換えられます。

予想（言い換え）

任意の奇素数 $p$ に対してある自然数 $k$ が存在し,  $\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^k \equiv 1 \ \left(mod \ p\right)$

証明の前に

（予想って書いてるけど証明できてるから命題とかの方がいいんだよな）

$2^k \equiv 1 \ \left(mod \ p\right)$

が証明できればよいのですが, 「小」道具を使えば瞬殺です.

フェルマーの小定理

$p$ を素数とし, $a$ が $p$ の倍数でない正の整数( $a$ と $p$ が互いに素)のとき, 

$a^{p-1} \equiv 1 \ \left(mod \ p\right)$

これの証明は割愛します.*3

予想（言い換え）の証明

$k=p-1$ とすると, $2$ と奇素数 $p$ は互いに素なのでフェルマーの小定理より

$2^k \equiv 1 \ \left(mod \ p\right)$

よって,  $\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^k \equiv 1 \ \left(mod \ p\right)$ □

補足

あくまで、②の操作を適当な回数行えば $1$ /$p$ の折り線に戻ってくることを示しただけなので、$p-1$ が最小の②の繰り返し数というわけではありません。$p=7$ などがその例です。

余談

長々とした証明の段取りでした。 $1$ /$p$ の折り線に戻ってくることを示したとはいえ、$p-1$ が最小の繰り返しの回数でない場合もあるし、折る手順（($a$)と($b$)どちらを行うのか）も実際にやってみないとわかりません。

いや計算でわかるんですけど。

こんな感じで求めます。

$1$ / $p$ を2進小数で表記する（循環小数になります）

終わりです。

計算じゃなくて表記じゃんって感じですが、2進数に変換するときにちょこっと計算するので…

このとき、

循環節*4の桁数が最小の繰り返し数、

$1$ をR、$0$ をLとして循環節を右から読むと折る手順

になります。

例えば $p=7$ の場合、

$\displaystyle{\frac{1}{7}}=0.001001001001$...

このように2進小数で表すことができ、循環節は $001$ です。

そしてこの循環節は3桁なので、$1$/ $7$ の折り線の作図に要する②の操作の最小回数が3、折る手順は $001$ の$1$ をR、$0$ をLとして右から読んでRLLとなります。

50以下の奇素数 $p$ に対して調べてみると、以下のようになります。

人口ピラミッドみたいだぁ

47等分したいやつなんていねぇよ。

おわりに

実はこの記事、本当に書きたかった内容の前座になってます。「ざっくりn等分」だから次どうなるかは想像つくかもしれませんが。

証明を書くときに初めは「巡回群の話とかに持って行けるかな～」とか思っていたのですが、合同式という高校数学内容*5で話が完結できる上に、フェルマーの小定理で容易に証明できたので今回の証明を採用しました。折り紙の話なのにこういう定理とか使えるんですね。

こんな感じで、折り紙というのは立派な数学の対象で、現在でも研究が進んでいる分野でもあります。入門というか、簡単な内容であれば中学数学で説明ができるものも多いので少しでも興味を持ってもらえたら幸いです。

ちなみに次回の内容は中学数学で全部説明できる予定です。

ではでは ﾉｼ

*1:「~型自分の説明書」って本あったな～と思って調べたら2008年でした。懐かしいですね。

*2:ドクター・ハルの折り紙数学教室｜日本評論社 ←伊都キャンの図書館にもあります

*3:証明気になる人はフェルマーの小定理の証明と例題 | 高校数学の美しい物語を読もう

*4:いわゆる繰り返し部分

*5:学習指導要領の都合で習ってない人もいるかもしれません

曲を語るかと思いきや譜面について語る記事＋α

この記事はQUaverブログリレー2021 12/25の記事です。

12/24は約分したら1/2なので実質年明け。つまり今日は1/3です(謎理論)。

あけましておめでとうございます、ちんさんです。

九州大学音ゲーサークルQUaverのOBとなって1年と8ヶ月くらいですが、まだサークルに居座っています。来年度の新入生あたりから「なんやこの人」と言われ始めるかもしれません。（既に現1年生に言われている可能性も…??）

念のため自己紹介を。

PN

ちんさん

（↑本名を中国語で発音するとかなり近いらしい）

メイン機種

初音ミク Project DIVA Arcade

宇都宮で週1,2日くらいのペースで音楽ゲームやってます。メイン機種は1つしか挙げてませんが、気まぐれで他の機種も触ります。最近はアップでmaimaiとかWACCAやることが多いです。

現在、僕はDIVAの中でも難易度EXTRA Extreme(以下紫と呼びます)のF0を増やすチャレンジをここ数年勝手にやってます。maimaiでいうところのAPを狙ってるみたいな感じです。

しかしながらDIVAはF0を出したとしてもそれを確認できるものがDIVAnetの楽曲リスト等にはないようなものなので、リザルト画面を撮影した写真をこちらに保管しています。良かったら覗いてみてください。

さて、様々な紫譜面のF0チャレンジをしてきた僕ですが、その中で「ここは苦戦した」とか「(難易度に関わらず)これはヤバい」と思った配置を適当にピックアップして紹介していこうと思います。

僕が相当特殊な人間でない限りは他の人にも思うところのある配置だと思うので、パフェだったりF0だったりを狙ってる人は申し訳程度に参考にしてくれたら幸いです。

それ以外の人(人以外も含む)は「ほーん」ってノリで読んでください。

もくじ

キップル・インダストリー

nico.ms

「価値あるものって何だろう」

この世に無限に存在する ”もの” への必要性を問いながら、そんなことを考えさせられる曲です。

（プレイ中はそんなこと考える余裕ないけど）

苦戦したところ→→→階段

階段は音ゲー用語でよくあるアレです。ボタンを右から左だったり左から右へ順番にシバいたりするやつです。ちなみに自分はかなり苦手です。

下の画像をご覧ください。

ルカさんかわいいよね

この曲に登場する24分階段です。205BPMなのでとても速いです。

DIVAの階段はただでさえ光りにくい*1のに、この階段には問題点があります。

それは、

1打目がHOLD抜けのノーツ

であることです。例えば上の画像だと階段の最初のノーツは△で、既に△のHOLDをしていますね。達成率だったりスコアだったりを狙ってる人にとってはHOLDの抜けは弾きた～いってなるんですよ。僕もなりました。

あ、弾きって何？って人はこれ見てね(投げやり)。

nico.ms

話が一瞬逸れました。階段1打目のノーツでも弾きたいです。しかし、弾こうとするとさらなる問題が発生します。

弾こうとするとどうなるか、

階段がめちゃんこ難しくなります。

どういうことかというと、△→☐→✕→〇の階段だったら普通は左左右右で捌くと思うんですが、△を左手で弾こうとすると次の☐が左で取れない or 左でもかなり窮屈になります。弾きはその手法から片手全体を使ったりほとんどの指を使ったりするので、16分だったり24分間隔の次のノーツへ同じ手で移行する難易度が跳ね上がるんですよ。

ただでさえ難しい階段がさらに難しくなっちゃいました。しかも今回は205BPMの24分階段なので左右左右(完全交互)も苦しいです。なんてこった。

HOLDがどうしても弾きたい…って人以外は弾かず普通に△を押し直す、またはHOLDを捨てても良いと思います。ちなみに僕はどうしても弾きたかったので左右右左で解決しました。腕がクロスするので左手がすごい速さで動きましたが。

この曲には24分階段があと何回か登場しますが、最後の1個以外は全て△→☐→✕→〇かその逆順です。

最後の1個はこちら。

☐→✕→〇→△

R乱かな？

しかも4HOLDのオマケつき。くるちい。

動画はこちら(露骨な宣伝)

youtu.be

悠久 -Song of Eternity-

nico.ms

全人類聴いてほしい……

歌詞の「幸せでした」が過去形なのが涙を誘ってきます。ゲーセンで泣かないよう注意しましょう。

DIVAのバラードはいいぞ。*2

ヤバかったところ→→→だんだんおそくなる

40mPの曲にありそう(小並)。

難易度自体は高くはないのですが、1箇所精度を狙う上で凶悪な地帯が存在します。

それが演奏が始まって2分半ほど過ぎた最後の最後。

見出しにあるのでお察しかと思いますが、この一連の配置、

だんだん遅くなります。

遅くなった後にこの配置じゃなくて遅くなり続けるんです。

元々66.7というBPMでただでさえ遅いのにさらに遅くなります。リズム押しが不可能すぎる。目押し推奨。

自分は何回かやらかして心臓が爆発しました。

どんな感じなの？という方もいるかと思うので、動画載せときますね(動画内2:50あたりから)。

youtu.be

（隙あらば宣伝）

逆に言えばここ以外難しい配置は適正レベル以上の人にとってはないと思うので、目押しやメンタルのトレーニングをしたい人にはある意味推奨できるかもしれません。*3

ちなみに最後、または最後の方で遅くなる曲結構あります。はぁ。

ワールズエンド・ダンスホール

nico.ms

なんだかんだ言ってwowaka氏の曲で一番好きです。

DIVAのダンスホールはなんとフル尺！

1曲で3分半以上遊べるぞ！

嬉しい！*4

譜面は赤も紫も本当に完成度が高いと思っています。どちらもソフラン以外は何でもありのような「超」が付くほどの総合譜面で、DIVAで苦手な要素が少しでもあるとかなり難しく感じてしまう1曲でもあります。

しかし、だんだんと難しくなっていく配置に相まって、ラスサビ後半の緊張感と高揚感は凄まじいです。是非体感してみて欲しい……

ヤバかったところ→→→同時押し

この譜面でかなり特徴的な配置は、やはりラスサビで登場する同時押しでしょう。

それがこれ。

真っ赤。

「きっと何一つ変わらないから」という歌詞の「と何一つ変わらない」に充てられている配置です。「きっ」はスライドが充てられています。

押してないボタンの方が少ないですね。誰が呼び始めたのかは忘れちゃったんですけど、Rave*it地帯って呼ばれていることもあります。

Rave*it!! Rave*it!!(A)の該当箇所。

きれいな譜面ですね(KONMAI)

ダンスホール紫を繋ごうとするとここが最難関になる人が多いと思いますが、なぜ難しいかは以下が理由だと考えています。

速い

この地帯は171BPMの8分間隔でボタンは4つしかありませんが*5、8分換算だとRave*itよりも速いです。(あっちは282BPMの4分)

譜面が縦に降ってこない

DIVAではどの譜面にも言えることですが、ノーツが画面のいろんなとこから飛んできます。さらにこの地帯はマーカーが横に配置されているので、どのノーツをどの手(指)で押すかを一瞬考える必要があります。

誤魔化せない

これもDIVAの仕様の話ですが、例えば△☐✕の同時押しを△☐✕〇の全押しでとることはできません。これは△☐✕と△☐✕〇は別の入力として処理されるからです。「同時押しだからとりあえず全押ししよう」ができません。餡蜜のような誤魔化しもできません。全部ガチ押ししましょう。

僕は画面を見ずに手元ガン見でどうにかしました。

ちなみにここを乗り切ってもまだウイニングランではありません。ラスサビはその後も普通にムズイです。しかもアウトロは判定ちょっとズレてます。なんでやねん。

一瞬たりとも気を抜けないですし、本当に緊張します。

しかしながら、曲自体の盛り上がりとこの緊張感が相まって謎の高揚感が生まれるので、「おれ、いまめっちゃむずいふめんさばいてる！！！！」みたいな気分になれます。譜面に集中しろ。

……という感じでこの譜面けっこうむずかしいと思うので、繋いだりしたらインターネットで自慢できます。みんなもやろう。

譜面はこんな感じなので是非見てね。

(録画機ないとこで詰めてたのでF0の動画はないです)

youtu.be

余談ですが、精度を狙うとラスサビ以外がムズイです。マジで。

*1:僕が下手なだけ

*2:しかし精度を狙う際は精神衛生上よろしくない場合が多い。

*3:僕は絶対にやらん。

*4:パフェや精度を狙う際は精神衛生上よろしくない場合がある。

*5:ギブアップコマンドをよく使う人は実質5個

折り鶴のお話

Happy birthday to me🎉

茶番終わり。

この記事は2019年度QUaverブログリレー企画参加記事です。

タイトルにある通り、今回は折り紙の鶴のお話です。知らない人はほとんどいないであろう、伝承作品の鶴です。音楽ゲームの話をしろ(ふんぬ)

↑こんなやつ

折り鶴の折り方や歴史などはググればいくらでも出てくるのでそれらは控えることにします。但し折り方は知っている前提で話を進めるので、折り方知らんという方は一度調べることをお勧めします。(あと高校程度の数学の知識が出てきます。数学嫌いな人はごめんね。)

※この記事で紹介する定理等は他の研究者による先行結果であり、僕によって新規で得られたものではありません。念の為。

内容

1. 菱形、凧形の紙
2. 正方形の紙(ちょっと違う折り方)
3. 任意の四角形

1. 菱形、凧形の紙

折り鶴ですが、折っている過程で次のような菱形ができます。

これを一般的に鶴の基本形と呼びます。また、鶴の基本形を広げると展開図(*1)が得られ、その展開図の中心Oを鶴心(または鶴の中心)と呼びます。この鶴心は鶴を折った際に背中の中央にくる点です。あとでまた登場します。

(*1)展開図…折った後の紙を広げたときの山折り・谷折りの様子を図で表したもの

正方形以外に、菱形の紙でも鶴を折ることができます。折り方も同様です。

↑菱形の紙で折った鶴。翼が長かったり首と尾が長かったり。

凧形の紙ではどうでしょうか。図のように首・翼・尾を配置すると同様の折り方で一応折れます。左右非対称ですね。

↑翼片方ちっさい

鶴を左右対称にしたいので次は図のような配置にしてみましょう。

折ってみます。

ここで翼となるカドをいっぱいのところで折りたいのですが、右の部分が邪魔をして折り上げることができず、鶴は完成しません。失敗です。かなしいね。

失敗の原因は、展開図において翼の折り上げでつく折り線が●印を通っていないことにあります。

↑折り線が●に繋がっていない

では、凧形の折り紙では左右対称の鶴は折れないのかという問いですが、結論から言えば折れます。左右対称の鶴をキレイに折るためには鶴心が重要で、その位置を次のように定めると、きちんと折れます。やったぁ。

↑片側の三角形の内心から、中央の線に下ろした垂線の足が鶴心。

2. 正方形の紙(ちょっと違う折り方)

正方形で鶴を折る際、次のように折ってもキレイに鶴が折れます。これを正方形の場合における前川変形といいます。

↑翼の角度が違う

次の折り方は先ほどと似たようでそこまで似てない折り方で、こちらは鶴が折れません。

↑翼を斜めに持ち上げる

鶴の基本形のように見えますが、内部の構造が邪魔をして頭と尾を持ち上げることができません(気になる方は実際に折ってみてね)。このような状態を軸がずれているといいます。

軸という用語はこの記事ではさほど重要ではないので、とりあえず折れないんだなくらいの認識でOKです。

3. 任意の四角形

任意の四角形における折り鶴の前に、先ほど第2節で鶴の基本形のように見えて鶴を折ることができない例が登場してしまったので、鶴の基本形を再定義しましょう。

定義

四角形ABCDが次の図1のような折り線で折りたためて, 線分AB, BC, CD, DA, AO, COが全て一直線上に重なるとき, 図2を鶴の基本形, 点Oを鶴心, 重なった直線を鶴の軸とよぶ.

↑図1

↑図2

鶴の基本形が再定義できたところで任意の四角形の話に入ります。

第1節で触れた菱形や凧形は、正方形ほどではありませんが"キレイ"な四角形でした(対称性の意味で)。それ以外にも四角形はたくさん種類があって、長方形や平行四辺形、その他諸々あります。

あ、ここでの四角形は凸四角形(*2)を指すものとします。話をあまり難しくしない為です。(先に言え)

(*2)凸四角形…全ての内角の大きさが180°未満の四角形

任意の四角形について鶴が折れるか否かについては既に研究がなされており、次のような定理(一部)が川崎敏和氏により与えられました。

定理

四角形の紙を用いて鶴が折れる(鶴の基本形が折れる)必要十分条件は, 四角形が内接円を持つことである.

定理の証明はA4用紙2枚くらいの文量ではありますが、ここでは割愛します。(決して書くのが面倒なわけではない)

また補足として、四角形が内接円を持つというのは四角形の4辺全てに接する円が存在するということです。三角形であればどのようなものでも内接円を持つのですが、四角形はそうとは限りません。

話を戻しますが、定理を見る限りでは内接円を持つ四角形なら何でも鶴が折れるそうです。そこでこんな疑問が湧いてくるわけです。

「じゃあどうやって折るの？」

重要なのは第1節で凧形の紙で左右対称の鶴を折る際にも登場した鶴心です。この鶴心の位置を定めることができれば、鶴の基本形及び鶴自体も折ることができます。

そして肝心の鶴心の定め方ですが、凧形の場合と同様にはできません。そこで次の定理が登場します。

定理

内接円を持つ四角形ABCDに対して, 点B, Dを焦点とし, 点A, Cを通る双曲線が存在する.

↓図で表すとこんな感じです(青いのが双曲線)

これも証明は割愛します。(決して書くのが面d)

このような双曲線上に、点を1つとります(四角形の内部であればどこでもいいです)。これが鶴心になります。

双曲線上かつ四角形の内部であれば、実は鶴心のとり方は任意です。第2節の前川変形で正方形の紙の別の鶴が折れたように、内接円をもつある1つの紙でも複数の鶴が折れるわけです。

というわけで双曲線上に鶴心をとればいいことは分かりました。では実際にどう作図すればよいのでしょうか。

1つの手法としてはGeoGebra(*3)のようなソフトを用いて双曲線及び鶴心を作図してもらい、印刷することが挙げられます。GeoGebraの場合は焦点と通る1点を選択することで簡単に双曲線が描けるので、苦もなく鶴心を定めることができます。内接円を持つ四角形も作図できるので便利です。

折り操作だけで鶴心を定めることもできますが、こちらはまぁまぁ面倒なので割愛してしまいます。機会があればその方法に関する記事を投稿しようと思っています。ポイントは双曲線が焦点との距離の差が一定である点の集合であるということです。

鶴心を定めた後は次のように折ると鶴の基本形が出来上がります。

(1) 鶴心と各頂点を結ぶ山折り線をつける。

(2) (1)でつけた隣り合う山折り線同士を合わせるように折り、角の2等分線となる谷折り線(赤線)をつける。(ここで、図の青線のようにそれぞれの角の2等分線となる谷折り線をつけておくと(4)が折りやすいです。)

(3) (1)(2)の折り線を用いて四角形になるように折り畳む。

(4) 翼となる紙を持ち上げるように折る(反対側も同様)と、鶴の基本形の完成。ぱちぱち👏

あとは普通の鶴と同じように折ると完成です。

↑翼の高さに差ができたりする

 

(*3)GeoGebra

www.geogebra.org

割とキリがいいのでこの辺りにしておきます。いかがだったでしょうか。

日本の伝承作品である折り鶴ですが、数学と絡めてこのように話を展開することが可能だというお話でした。大学にてこれを学ぶ機会があったため、そこで得られたものを今回少しばかり紹介させていただきました。折り紙というのも立派な数学や工学の対象で、年に数回研究集会が開催されていたりもします。僕は数学徒ですので、この記事で「こういう数学もあるんだなぁ」ということを少しでも感じ取ってもらえれば幸いです。

なかなか長い記事となってしまいましたが、最後まで読んでいただきありがとうございました。

…あれ、音ゲーの話は？

ァ！

尊い